根据现行《宪法》，有权依照法律规定的程序对通信进行检查的机关是( )。

解析：公民间的相互交往是人类组成社会的理由之一，是人身自由的一种表现形式。所以，通信自由和通信秘密是公民日常生活中不可缺少的一项基本权利，受到宪法和法律的保护。《宪法》第40条规定；“中华人民共和国公民的通信自由和通信秘密受法律的保护。除因国家安全或者追查刑事犯罪的需要，由公安机关或者检察机关依照法律规定的程序对通信进行检查外，任何组织或者个人不得以任何理由侵犯公民的通信自由和通信秘密。”因此此题选D。